用人话 (不用公式) 来讲, 从"对称性"到"守恒量"的逻辑链是这样串起来的 (举一个一维系统, 平移对称性的例子)
于是得到: 平移对称性 动量守恒. 下面是对这个逻辑链的进一步的阐释. 这是一个从哈密顿力学的角度给出一个相对来说比较好理解的解释, 但是仍然是需要对物理概念有一定了解. 需要知道以下概念
(以下标注放图的是还没有来得及画图- -)
首先我们来看一下, 如何去描述一个物理量. 在经典力学力, 系统的态处在相空间 中, 为了方便起见, 就只讨论一维的情况, 也就是相空间是"一维空间+一维动量空间". 确定了一个粒子的位置 , 和他的动量 , 也就是在 中点了一个点, 此时粒子的状态就完全确定了.
(放图)
而物理量 则可以看做是粒子的状态到实数的映射, 也就是一个状态对应一个物理量数值. 于是 , 也就是相空间 上的标量场.
最简单的例子就是自由粒子的能量函数 , 这个是相空间的一个标量场.
(放图)
所谓的单参变换, 既可以理解成是"时间演化", 也可以理解成是"某种变换". 举个例子: 沿着 轴平移 的距离就是一种单参变换. "平移"是一个变换, 距离 是这个变换的一个参数.
而实际上你还可以从另一种角度去理解这个单参变换 (这个是理解诺特定理的最关键的地方), 我也可以将参数 看作是一种"时间参数". 那么单参变换就变成: 经过了时间 , 我平移了 那么多的距离.
换句话说, 单参变换和时间演化在这个意义上是等价的. 从这里大致可以看到诺特定理的一些影子: "对称性"就是单参变换下系统不变, 而"守恒量"就是时间演化下某个物理量不变. 的确如此, 现在里诺特定理其实只有一步之遥了.
一个粒子的演化, 其实是由它的能量函数 来决定的. T是动能, V是势能. 如下相空间.
(放图)
可以这样理解: 确定了能量 , 我也就知道了这个粒子所受到的势能分布, 以及它的动能分布. 从牛顿力学的角度去理解可以知道: 动量时间变化率就是势能的空间变化率 (负号)
也就是说, 能量 的相空间的分布本身就能够直接决定每一个点 粒子该朝那个方向运动. 此外, 这种运动还有一个重要的特征: 它需要在等能面上运动. 也就是给定初始位置之后, 他就会在 的面上运动. 实际上这就代表了能量守恒
但是反思一下, 究竟是什么让一个标量场 能够具有时间演化的功能的呢? 答案是: 演化方程. 从另外一个角度来想: 随便一个标量场 , 如果我仍然保留"演化方程"
那不一样可以得到一个时间演化 ? 当然此时由于 不再是能量, 因此称之为"演化"不再适合, 我们把这里的 换成参数 , 重新命名成单参变换 . 于是结论就是
两个论点是完全对应的
(这个标量场 就是一个物理量嘛)
一般我们说, 系统的对称性就是系统在某种变换下物理规律不变. 啥意思? 之前提到过, 一旦能量 确定了, 粒子的运动也就确定了. 那么物理规律就是 , 某种变换下物理规律不变意思就是"这种变换下能量函数 不变".
关键的步骤开始了:
[第一步] 假如现在系统具有某种对称性! 那么:
综上, 你能得到啥结论? "等 面"和"等 面"重合.
[第二步] 这时候系统怎么演化呢? 在"等 面"上运动. 那么既然"等 面"和"等 面"是重合的, 那么不就代表着系统就在"等 面"上运动吗?!
也就是说, 系统演化不改变物理量 , 得到一个守恒量.
举一个最简单的例子: 例如系统有空间平移对称性, 那么:
综上:
平移对称性 动量守恒.
旋转对称导致角动量守恒等等的论述也是同样道理.
