我所接触到的关于级数的问题（要求都是收敛，或者一致收敛的）一般是来源于某种逼近的概念。特别是通过简单项的重复来逼近某种复杂无法处理的函数。比如这样一种包含超越数的函数，我们可以用级数的形式展开：
后面这个记号是超几何级数的标准写法。显然，我们处理要方便得多。在一些求积分的问题中，找到适当的级数展开能够大大化简问题。目前特殊函数论已经发展得很丰富，以至于，我们完全可以把无穷级数当成一个正常的函数加以使用。毕竟，初等函数的数量是很少的，而且在实际问题中大量的都是复杂的函数。
从另一个角度来看，积分运算本身就源于级数。积分和都和某种收敛级数是对应。所以说，无穷级数当然是在这个体系内的。只不过，有时候教材中在引入积分概念的时候比较强调极限的概念。你换种角度，有限和的极限实际上就是级数。
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在黎曼积分的体系中，我找了这个例子：
计算的定积分。根据定义我们很容易可以有：
这和一般常见的级数确实不太一样。但是大体上，能够感受到有这样一种意思。但是右边这个有限求和对于一般的对象而言是极其困难的。所以，很少会有用积分的定义来计算的情况。
注：徐森林，薛春华 《数学分析 第一册》 2005。更多的例题可以在他们的书中找到。
在勒贝格积分的体系中，这种联系似乎更加多。
我们知道勒贝格积分关于其积分域具有可数可加性，也就是说：
若是互不相交的集族，满足：，则
现在我们来考察一类特殊的测度：计数测度。令，
根据计数测度性质，我们有：，即：每一个整数的测度为1。由积分域可数可加性得：
也就是说，选择一些特殊的测度能够使积分问题直接变成无穷的问题。而且在抽象积分中，很多关于级数的问题可以通过积分来导出。
注：这部分内容改编自：肖建中，李刚《抽象分析基础》清华大学出版社，2009。
而且我们要注意，在抽象积分中，其实测度定义本身已经蕴含了某种级数收敛性的要求了。
