以下是一道八年级上册的数学压轴题及其详细解答：
题目：
在平面直角坐标系中，抛物线$y = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）与$x$轴交于点$A(-1,0)$，$B(3,0)$，与$y$轴交于点$C$，其对称轴与$x$轴交于点$D$。
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若点$C$的坐标为$(0,3)$，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点$P$是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内，当点$P$到直线$BC$的距离最大时，求点$P$的坐标。
答案：
（1）
由于抛物线$y = ax^2 + bx + c$与$x$轴交于点$A(-1,0)$，$B(3,0)$，根据抛物线的对称性，其对称轴为两点横坐标和的一半，即：
$x = \frac{-1 + 3}{2} = 1$
所以，抛物线的对称轴为直线$x = 1$。
（2）
已知抛物线的对称轴为直线$x = 1$，且经过点$A(-1,0)$，$B(3,0)$，可以设抛物线的解析式为：
$y = a(x - 1)^2 - 4a$
（因为当$x = 1$时，$y$取到最小值，且最小值为$-4a$，由于$A$、$B$两点在$x$轴上，所以最小值的绝对值为$AB$的长度的一半的平方的相反数，即$4a$，但注意这里$a$的符号未定，所以写为$-4a$）
又因为抛物线经过点$C(0,3)$，代入得：
$3 = a(0 - 1)^2 - 4a$
$3 = a - 4a$
$3 = -3a$
解得：$a = -1$。
所以，抛物线的解析式为：
$y = -(x - 1)^2 + 4$
即：$y = -x^2 + 2x + 3$。
（3）
设直线$BC$的解析式为$y = kx + b$，代入点$B(3,0)$，$C(0,3)$得：
$\begin{cases} 3k + b = 0 \ b = 3 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases} k = -1 \ b = 3 \end{cases}$
所以，直线$BC$的解析式为$y = -x + 3$。
设点$P$的坐标为$(m, -m^2 + 2m + 3)$，过点$P$作$PH \perp BC$于点$H$，则$PH$的长度即为点$P$到直线$BC$的距离。
由于$PH \perp BC$，所以直线$PH$的斜率为直线$BC$斜率的负倒数，即斜率为1。
设直线$PH$的解析式为$y = x + t$，代入点$P$的坐标得：
$-m^2 + 2m + 3 = m + t$
解得：
$t = -m^2 + m + 3$
所以，直线$PH$的解析式为$y = x - m^2 + m + 3$。
联立直线$PH$和直线$BC$的解析式得：
$\begin{cases} y = x - m^2 + m + 3 \ y = -x + 3 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases} x = \frac{m^2 - m}{2} \ y = \frac{-m^2 + m + 6}{2} \end{cases}$
所以，点$H$的坐标为$(\frac{m^2 - m}{2}, \frac{-m^2 + m + 6}{2})$。
利用两点间距离公式计算$PH$的长度：
$PH = \sqrt{(\frac{m^2 - m}{2} - m)^2 + (\frac{-m^2 + m + 6}{2} + m^2 - 2m - 3)^2}$
$= \sqrt{\frac{(m^2 - 3m)^2}{4} + \frac{(m^2 - 3m)^2}{4}}$
$= \sqrt{\frac{(m^2 - 3m)^2}{2}}$
$= \frac{|m^2 - 3m|}{\sqrt{2}}$
由于点$P$在第一象限内，所以$m > 0$，且当$m = \frac{3}{2}$时，$PH$取得最大值，即点$P$到直线$BC$的距离最大。
此时，点$P$的坐标为$(\frac{3}{2}, \frac{15}{4})$。
