首先， 的中心是单位元 ，所以 中有一个子群 与同构，进而有
，
如果再能证明 的话那么就有 ，
从而说明 是完全群。
下面开始证明 ：
将 看成四面体ABCD四个顶点的对称群，即四个顶点ABCD的置换群，将其中的四个面看成是对应的4个Sylow-3子群，比如面ABC对应的是循环群 。任意 中的元素 可以诱导出这四个3阶循环群的一个置换，用几何语言也就是诱导出四面体四个面的一个置换(将这四个面的置换群也记作 ),
以上分析说明存在一个群同态
，如果 , 即 保持四面体的每个面不变， 从而保持每两个面的夹边不变，因此有 , ,从而 ,同样，可以推出 保持所有顶点不变，即 是 中的单位元，从而 是单射。
所以 。
代数方法1（上面几何方法的翻译）：
考虑到 中有4个Sylow-3 子群 ={ }，其种 ,其他类似。 有一个作用在 上：对于 , 。
从而这个群作用诱导了一个从 到 ( 的置换群)的群同态 ，考虑 中的元素 ，即 保持了 中元素 的不变，即从而也保持了对应 的正规化子的不变，但是容易知道 在 中的正规化子是同构于 的6阶子群（比如， 的正规化子是
）。
而且注意到两个不同 对应的正规化子的交是个二阶元。
所以 保持了这些二阶元的不变，而注意到这些交的2阶元可以生成 ,从而 是单位元，因此 是但同态，从而 。
代数方法2：另提供一种代数方法来证明：
注意到 中的所有3阶元都形如 ,对于 中的任何元素 ， 保持这些3阶元的阶数不变，且这些3阶元生成 的子群 ,即 ,从而 保持 中置换的奇偶性不变。
注意到 中有且仅有3个偶的阶数为2的元素： { }。所以 诱导了 中3个元素的置换群 ,即群 可以作用在 上，从而存在一个从群 到群 的群同态 。考虑 中的元素 ，即 作用在 上是恒等映射：
对于 , 又因为 保持置换奇偶性不变，所以有
① 或者 ② ；
同样对于 ，有
③ 或者 ④ 。
而注意到 ,所以 可以由它在 上的取值来决定，所以 最多有4种选择（①③，①④，②③或者②④搭配）。
由群同态基本定理， ,
从而 ， 证毕。
