导数的四则运算法则证明
导数的四则运算法则是微积分中的基础定理，它们允许我们通过简单的代数运算来找到复杂函数的导数。以下是这些法则的证明：
1. 加法法则
定理：若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 都是可导函数，则 $(u + v)(x)$ 也是可导的，且其导数为： $(u + v)^{\prime}(x) = u^{\prime}(x) + v^{\prime}(x)$
证明： 根据导数的定义，有： $\lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{(u+v)(x+\Delta x) - (u+v)(x)}{\Delta x}$ $= \lim_{{\Delta x \to 0}} \left( \frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x} + \frac{v(x+\Delta x) - v(x)}{\Delta x} \right)$ 由于 $u(x)$ 和 $v(x)$ 都是可导的，所以上述极限可以拆分为两部分： $= \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x} + \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{v(x+\Delta x) - v(x)}{\Delta x}$ $= u^{\prime}(x) + v^{\prime}(x)$ 因此，加法法则得证。
2. 减法法则
定理：若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 都是可导函数，则 $(u - v)(x)$ 也是可导的，且其导数为： $(u - v)^{\prime}(x) = u^{\prime}(x) - v^{\prime}(x)$
证明： 这可以通过将减法看作加法的逆操作来证明。即，$u - v = u + (-v)$，然后应用加法法则： $(u - v)^{\prime}(x) = (u + (-v))^{\prime}(x) = u^{\prime}(x) + (-v)^{\prime}(x)$ 由于 $(-v)^{\prime}(x) = -v^{\prime}(x)$（负号在求导后保留），所以： $(u - v)^{\prime}(x) = u^{\prime}(x) - v^{\prime}(x)$ 因此，减法法则得证。
3. 数乘法则
定理：若 $u(x)$ 是可导函数，c 是常数，则 $cu(x)$ 也是可导的，且其导数为： $(cu)^{\prime}(x) = cu^{\prime}(x)$
证明： 根据导数的定义和数乘的性质，有： $\lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{c(u(x+\Delta x) - u(x))}{\Delta x}$ $= c \cdot \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x}$ $= cu^{\prime}(x)$ 因此，数乘法则得证。
4. 乘法法则
定理：若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 都是可导函数，则 $uv(x)$ 也是可导的，且其导数为： $(uv)^{\prime}(x) = u^{\prime}(x)v(x) + u(x)v^{\prime}(x)$
证明： 使用乘积的增量公式和导数的定义： $\lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x}$ $= \lim_{{\Delta x \to 0}} \left[ u(x+\Delta x)\frac{v(x+\Delta x) - v(x)}{\Delta x} + v(x)\frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x} \right]$ 由于 $\Delta x$ 在分母中且趋于0，我们可以将上式重写为两个极限的和： $= \lim_{{\Delta x \to 0}} u(x+\Delta x) \cdot \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{v(x+\Delta x) - v(x)}{\Delta x} + v(x) \cdot \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x}$ $= u(x)v^{\prime}(x) + v(x)u^{\prime}(x)$ （注意这里我们使用了 $u(x+\Delta x)$ 当 $\Delta x \to 0$ 时趋近于 $u(x)$ 的事实） 交换两项的顺序得到乘法法则的标准形式： $(uv)^{\prime}(x) = u^{\prime}(x)v(x) + u(x)v^{\prime}(x)$ 因此，乘法法则得证。
5. 除法法则（可选，但基于乘法法则和数乘法则易得）
定理：若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 都是可导函数，且 $v(x) \neq 0$，则 $\frac{u}{v}(x)$ 也是可导的，且其导数为： $\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}(x) = \frac{u^{\prime}(x)v(x) - u(x)v^{\prime}(x)}{[v(x)]^2}$
证明： 通过乘以 $\frac{1}{v}$ 的共轭式并将除法转换为乘法来证明： 令 $y = \frac{u}{v}$，则 $y = u \cdot \frac{1}{v}$。对 $\frac{1}{v}$ 求导得到 $-\frac{v^{\prime}}{v^2}$（使用数乘法则和链式法则）。然后应用乘法法则： $y^{\prime} = u^{\prime} \cdot \frac{1}{v} + u \cdot \left(-\frac{v^{\prime}}{v^2}\right)$ $= \frac{u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^2}$ 因此，除法法则得证。
