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下面的内容由于公式无法导入，所以别看了，内容和上面是一样的
洛必达法则的证明探讨
本文会解答几个洛必达法则证明过程中的问题，同时也力求提供可以理解掌握的、能从中吸取到有用经验的∞/∞型洛必达法则的证明方法。
0/0型洛必达法则[1]（L’Hospital’s Rule: 0/0 case）：在区间(a, b)上，f(x)和g(x)都可导、、，如果，那么
证明：先补充定义f(a)=g(a)=0，则有、，所以这个定义使得f(x)和g(x)在[a, b)上连续。对f(x)和g(x)使用柯西中值定理——取任意的，在[a, x]上有
因为f(a)=g(a)=0，所以
时，因为c在(a, x)上，所以，又因为，所以
至此0/0型洛必达法则得证。
说明：
∞/∞型洛必达法则[4]（L’Hospital’s Rule: ∞/∞ case）：在区间(a, b)上，f(x)和g(x)都可导、、，如果，那么
我看了三本国内较为优秀的数学分析教材上面对此的证明，皆感其证明之玄妙，尤其是里面的等式做出那些变形究竟是怎样想到的，很难从中看出头绪，即便是看完证明之后想要再现这些证明也感到很困难。现将这些证明转载于下，证明过程中我认为的难以构想之处已红框标示出，各位自行体会！
面对这些证明，我所认为的难处在于里面的等式变形，不容易看清楚作那些变形的方向是什么——为什么会想到那些变形？所以我只能将这些变换算看作是奇思妙想，说得不好听一点则曰之“奇技淫巧”， 私以为好的数学证明应当避免这些奇技淫巧，多遵循基本技巧和方法，若总是依仗一些奇思妙想难免让人对数学望而却步，读者也难以师法其中。如下便是我所寻求到的自认为可以理解掌握的、能从中吸取到有用经验的证明方法，至少不会像上面三种方法那样不容易看清里面的等式变形的思路。
思考过程：取任意的、，显然，在区间上根据柯西中值定理有
这里。因为要求的是，我最初的思路就是把和关联的等式由上面这个等式变换出来，然后再寻求其极限的契机。在等式左边的分子分母同时除以g(x)便会在整个等式中产生，即
进一步可得
不容忽视的是上面进行了“分子分母同时除以g(x)”的运算，这需要保证g(x)在对应的定义域内不等于0才行。因为，所以在a的某一近旁内必有，所以只要把选定在使得的a的近旁内就可以保证“分子分母同时除以g(x)”的运算顺利进行。
然后想令看看等式右边有没有固定的趋向，但无奈发现首当其冲的是这种情况下无法确定的趋向，所以这种思路行不通。当我想要放弃寻求可以理解掌握的∞/∞型洛必达法则的证明方法时，还好看到了Calculus with analytic geometry, 2nd Edition, George F. Simmons, p407上面的相关证明，从中获得启示后我对上面的思路进行了修改，然后得到了一个自己较为满意的证明。
在上面证明一开始那里，我们可以在内取足够靠近的，取任意的，显然，因为，所以这种情况下靠近L，然后再来看上面得到的等式
因为足够靠近（足够靠近且使之然也）并且，所以这时靠近1，靠近0，所以当被选得足够靠近时等式右边靠近，也就是靠近L，此即为所求！下面是这种证明思路的严谨数学表达。
证明：取任意的、，显然，在区间上根据柯西中值定理有
这里。因为要求的是，接下来的思路就是把和关联的等式由上面这个等式变换出来，然后再寻求其极限的契机。在等式左边的分子分母同时除以g(x)便会在整个等式中产生，即
进一步可得
不容忽视的是上面进行了“分子分母同时除以g(x)”的运算，这需要保证g(x)在对应的定义域内不等于0才行。因为，所以存在使得于成立，这里需满足。顺便声明：本文中所有的都且满足，也不难得出这样的是始终存在的。所以有条件可以保证“分子分母同时除以g(x)”的运算顺利进行。
因为，因此对于任意的存在使得于成立。
因为，所以存在使得于成立，以至于。
根据等式
然后结合上面的不等关系可以得出
因为，所以对于任意的存在使得和于成立，所以
不妨令，因为和都是任意的正实数，所以也是任意的正实数，以至于只要取就有
于成立，至此∞/∞型洛必达法则得证！
补充说明：由
得到和关联的等式的另外一种思路是在等式左右两边都乘以（该式分子和上面等式左边的分母一样，为的是相乘后消去分母，然后分母便成了，而分子里含有，这会为接下来等式里出现奠定基础），即
进一步可得
对于和等式左右两边相乘的因子，同样需要说明g(x)在对应的定义域内不等于0才行，道理同上。
我有幸看到Understanding Analysis, Second Edition, Stephen Abbott, p159上对∞/∞型洛必达法则的证明，也觉得那是可以理解掌握的、能从中吸取到有用经验的证明，故翻译并整理于下。
证明：因为，因此对于任意的存在使得于成立。顺便声明本证明中所有的都且满足这个条件，也不难得出这样的是始终存在的。
取常数，取，然后于上应用柯西中值定理有
其中，进一步可以得出
为了从上面这个不等式里分离出，这里的方法是将上面这个不等式乘上，但是的正负会影响到不等号的改变，因此有必要先确定该式的正负——因为，所以存在使得于成立，以至于，因此将上面这个不等式乘上后就有
进一步变形可得到
因为，所以存在使得和均小于于成立，以至于只要取 就有
于成立，至此∞/∞型洛必达法则得证！
补充说明：
[5]
[6]
