2019-11-05
提到「玻尔兹曼常数，Boltzmann constant」就离不开能量均分定理。接下来，我们试着先从统计物理的 Boltzmann 分布中 来说起。
首先，Boltzmann 常数 k 可以将一个微观（能量）的定义和一个宏观（温度）的量纲联系起来，例如在「能量均分定理，Equipartition Theorem」中，温度是宏观的量，平均的动能是一个微观的定义。
对数则使得熵从微观状态数这样一个总是需要作乘法的量，变成了一个可加的量，像是我们在熵的定义上我们先取了对数，再逆回去就变成指数 。
能量均分定理能够作出定量预测，类似于均功定理，对于一个给定温度的系统，利用均分定理，可以计算出系统的总平均动能及势能，从而得出系统的「热容」。
例如，它预测出在热平衡时理想气体中的每个粒子平均动能皆为 ，其中 为玻尔兹曼常数，而 T 为温度。
更普遍地，无论多复杂也好，它都能被应用于任何处于热平衡的经典系统中。
能量均分定理可用于推导经典理想气体定律，以及固体比热的「杜隆-珀蒂定律，Dulong-Petit law」。
它亦能够应用于预测恒星的性质，因为即使考虑相对论效应的影响，该定理依然成立。
应用波尔兹曼统计方法可以得到以下结论：在温度为 T 气体的平衡状态下，分子的每一个自由度都具有 的平均能量（也有学者表述为平均动能），这就是能量按自由度均分定理，简称「能量均分定理」。
但这种表述很容易产生一个误解，即粒子能量中每一个平方项对应一个自由度，而经典力学中的自由度定义为确定一个物体的位置所需的独立座标数，这个数目一般与粒子能量平方项并不一致，这问题往往造成理解能量均分定理的困扰。
山东科技大学周薇曾在 2018 年通过「正则系综理论」提出一篇文章，如果把广义坐标和广义动量的总数称为「自由度数」，这样定义的自由度数量与独立的平方项数量就一致了！
再来提到能量均分定理，后面我们也会进一步提供编年史给各位更清楚明白。
能量均分定理的原始概念是，当系统达到热平衡时，系统的总动能由各独立分量所等分，均分定理也为这些能量做出量化的预测。
例如它预测惰性气体的每一个原子，当于温度 T 达至热平衡时，会有平移平均动能 ，其中 为玻尔兹曼常数。
在这例子中，关键点是动能是速度的二次齐函数，均分定理显示出于热平衡时，任何在能量中只以二次出现的自由度（例如是一粒子的位置或速度的一个分量）有着等于 的平均能量，并因此向系统的热容提供了 。
均分定理另一个重要应用是在于晶状固体的「比热容」。
如此，固体的每一个原子都能够在三个独立的方向下振荡，因此该固体可以被视为一个拥有各自独立的 3N 个简谐振子的系统，其中，N 为晶格中的原子数。
由于每一个谐振子都有平均能量 ，所以固体的平均总能量为 ，而比热容则为 。
如取 N 为阿伏伽德罗常数 ，并使用 这个联系气体常数 R 及玻尔兹曼常数 的关系式，可得固体摩尔比热容的杜隆-珀蒂定律的一个解释，定律指出晶格中每摩尔的原子热容为 3R≈ 6cal/(mol·K)。
鸡生蛋、还是蛋生鸡？
我们要研究某个常数的物理意义，通常可以从编年史来观察。
「动能均分」这个概念出现最早在 1845 年，由 John James Waterston 提出的。于 1859 年，James Clerk Maxwell 主张气体的动热能由线性及旋转能量所等量摊分；于 1876 年，Ludwig Boltzmann 表明了平均能量是被一系统中各独立分量所等分，而将原理进一步扩展，Boltzmann 亦应用了均分定理去为固体比热容的 Dulong-Petit law 提出了一个理论解释。
Boltzmann 最重要的科学方面的贡献是分子运动论，其中包括研究气体分子运动速度的「马克士威-波兹曼分布，Maxwell-Boltzmann distribution」，基于古典力学的研究能量的马克士威-波兹曼统计和波兹曼分布，它们能在非必须量子统计时解释许多现象，并且更深入地揭示了温度等热力学系统的状态函数的物理意义。
当时多数物理学家并不像他一样深信原子和分子的切实存在，只有像是前面提到的 James Clerk Maxwell 和美国的 Josiah Willard Gibbs，以及自 John Dalton 提出原子论来却深信原子和分子的存在。
当时德国首级的物理学刊物的编辑只是将原子和分子当作方便的理论模型，而并不愿将它们与现实联系起来。在 Boltzmann 去世后数年，Jean Baptiste Perrin 在 Albert Einstein 于 1905 年的研究基础上对于胶体悬浮物的研究（1908–1909），才进一步测定了亚佛加厥常数和波兹曼常数，并向世界证明了原子和分子确实存在。
以上。
