Gee Law的答案言简意赅地道出了本质。
我这里来对那个答案做一些补充说明。
先说相似矩阵：
在一组基底 下，一个向量 通过线性变换 ，变成另一个向量 的过程，记为列向量与矩阵相乘的形式：
其中 分别为 在基底 下的坐标分量， 为线性变换 在该基底下的矩阵形式。
现在换一组基底 。
假设新的基底下，向量 的分量形式为列向量 ，线性变换 对应的矩阵为 ，那么线性变换 在新基底下的表现形式为：
再假设向量的分量满足基底变换关系：
于是
两边同时乘以 ，可得：
对比原基底下的表达形式 ，可知 ，也就是 和 互为相似矩阵。
所以相似矩阵可以看做同一个线性变换在不同坐标系下的表现。
接下来说合同矩阵。
Gee Law同学的答案中提到的双线性型，可以看做是两个向量空间的直积空间中的元素。
比如，两个 维向量空间的基底可以通过直积计算形成一个双线性型的基底：
一个双线性型的矩阵形式可以表示为这组基底的线性组合：
现在换一组基底
假设在该基底下原来的 的分量形式分别变为 ，双线性形的矩阵形式变为：
假设两组基底之间的变换关系为：
于是：
交换求和次序，可写成：
这就意味着：
写成矩阵形式就是：
这就是一对天造地设的合同矩阵，它是同一个双线性型的矩阵在不同坐标基底下的表现。
当然，很多同学可能会迷惑：这个双线性形到底意味着什么？
其实它在物理学中还对应一个类似的量，叫做张量 (Tensor)。
它其实是相对论最重要的语言，狭义相对论中那个重要假设：
只有通过张量才能得到最透彻的理解，因为不同惯性参考系间物理定律表现形式的变化关系，就是通过张量的合同变换来描述的。
而广义相对论中，时空弯曲和质量能量的分布，更是离不开张量的表述。
有兴趣的同学可以瞧瞧我的科普文：
