如果学过一点牛顿物理的话欧拉公式其实非常好理解。高中物理就够，学了向量和一点点微积分的那种。
注：以下是我自己的理解，我没有专门学过这些内容所以可能有逻辑不严谨的地方或者有错的地方，见谅。但是我觉得这个思路是没问题的。。吧。这也不是要证明欧拉公式，只是一个直观的物理类比来理解。
首先理解一下两个。。背景知识？
（1）
先搬上欧拉公式：
我们知道复数是可以表示成 形式的，既然左边的 是个复数，它肯定也能写成一种 的形式。很容易看出来这其实跟向量很像，完全可以用一个复数 来表示一个二维向量 （也经常写成unit vector notation ，这里就统一用前者）。于是就有了复平面，横轴代表实数纵轴代表虚数，就跟直角坐标系差不多。
（2）
一个复数乘i是什么效果呢？它把一个复数”向量“逆时针旋转九十度。
我们把1,也就是 看成一个复平面里的”向量“，它的大小(magnitude)是1，方向是正实数轴（横轴）。如果它乘上i，变成 ，这个”向量“的大小还是1，指向正虚数轴（纵轴）。很明显被逆时针旋转了90度。这个旋转了90度的”向量“再乘i就变成了 ，又旋转了90度。再乘i则变成 ，又旋转90度，再乘i继续旋转90度变回1，一共绕一周旋转360度。与向量一样，我们用从原点出发的箭头来表示复平面里的复数。
这对任何复数都是同理，比如
也就是旋转了90度。这个很明显， ，也就是旋转90度。这个学过向量应该都知道证明的话也很简单，放在文章结尾（1）处。
现在了解了基本复数知识，我们来复习几个物理量，方便不熟悉牛顿力学的读者参考。
我们记住以下几个量和它们的符号，它们会在接下来的物理类比中出现：
（1）时间
（2）位移 ，当原点为 时也就是位置
（3）速度
（4）加速度 （就不把每种形式都写出来了）
（5）角位移 ,位移的类比。如果初始值是0的话也就是”角位置“，位置的类比。同时有 。
（6）角速度 ，速度的类比， ，并且
（7）角加速度 ，加速度的类比，
再复习一下匀速圆周运动：匀速圆周运动就是速率（速度的大小） 不变，角加速度 为0的圆周运动。它的特点是位置矢量 与速度 垂直，加速度 与 垂直， 与 逆平行，并且加速度 的大小不变，为 ，其中 为运动的半径。这些内容根据以上的定义非常容易推导出来。
接下来我们正式开始。既然这些物理量中很多都用向量来表示，我们能想到它们肯定也能用复数来表示，我们现在就这么操作。
注意，以下我将会将物理量写成例如 ，而非，因为我们现在开始用复数而非向量，并把它们都写成关于t的函数更为清晰。
于是我们想象一个粒子在复平面当中运动，它的位置可以用关于时间的函数 描述（ 是复数，所以能写成a+bi形式，类似向量）。
既然我们要形象了解欧拉公式，那我们当然就不能用它，也就不知道一个数的复数次方怎么算了。不过就算我们对复数次方一无所知，完全不知道它表达什么意思，完全不会算，我们也能轻易算出它的一个值，即 ，因为 。这很好，它是我们这个粒子在t=0时的初始位置， ，在横轴上。
我们还不会算 在其他时间的值，但是我们可以对它求导找到它的速度和加速度以进一步了解。
我们发现很神奇，这个粒子的速度就是位置乘i，也就是位置逆时针旋转90度！注意，不管这个粒子在哪里，时间是多少，这都是成立的：这个粒子的位置”向量“和速度永远垂直。我们还发现，在任何时间t，这个粒子速度的大小和与距离原点的距离（即”位置的大小“）是一模一样的。这就是 函数神奇的地方了，导数是它本身。
我们再来算加速度
我们又发现了，这个粒子的加速度 是速度 再逆时针旋转90度，而且加速度的大小又跟速度的大小以及位置”向量“的大小一样。加速度与速度垂直，与位置”向量“逆平行，对牛顿力学比较熟悉的人会立马意识到这是匀速圆周运动。
我们现在知道
在时间t=0，它大概长这样：
这就十分像上面那个匀速圆周运动的图了。现在我们来思考一番。
我们知道初始值 ，并且 ，也就是说在t=0时这个粒子的位置在(1,0)，并且在它的运动中速度与加速度永远垂直。因为加速度永远与速度垂直，它永远影响不了速度的大小，进而影响不了”位置的大小“（半径）。这符合匀速圆周运动，并且知道运动的半径是1。其实知道上面这几个结论之后完全可以把这几个函数类比为普通的带向量的微分方程然后解就直接得到cos(t)+isin(t)了，但是这就不够。。直观也不够物理了。如果想直接看根据这几个结论直接”证明“完毕的话，我写在了回答结尾的（2）处。
那么继续。。无论时间t是多少秒，这个粒子在哪里，它都是这样的：
它做匀速圆周运动。由于这是关于原点的匀速圆周运动，这个粒子的位置肯定在一个圆上，我们可以用它的角位移 来表示它的位置（ )。我们用复数来表示向量并且这个粒子的圆周运动半径r=1，就有了
这与欧拉公式已经非常相似了。我们现在所需要的就是需要把 与 划等号。这个粒子不仅做匀速圆周运动，在x秒的时候它的角位移必须也是x弧度，那么角速度必定是 。这我们也很容易知道了。既然我们已经知道这个粒子做半径为1的匀速圆周运动，就有 ，而我们已经知道 ，即速度与位置”矢量“的大小永远是一样的，仅仅是方向垂直，于是我们就知道速度 的大小一定是1，而 ，所以 。
至此我们知道了 ，并且我们也知道（因为这个粒子在t=0时的位置是1+0i，在横轴上） 所以 ，所以就有
至此我们就已经直观地用一个物理类比的方式理解了欧拉公式。
我们同时也发现不仅 有这样的半径为1的匀速圆周运动的属性， 或者 什么的都有。只不过它们的导数不是它们本身，而是它本身再乘一个常数，导致了速率不为1，进而 。只有e为底数的时候有导数是本身这个特性，才会出现欧拉公式这么简洁的公式。
（1）若有向量 ，设 ，则逆时针旋转90度有 ，同时 。
（2）有，可以把它们改用熟悉的向量表示。
并且
这样我们得到了一个微分方程和它的initial condition。这很容易直接看出来结果但是还是我们来解它：
结果就是 ，我们再把它重新写成复数的形式，变成 就直接出来了。
