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嗯，碰到这种要翻书的问题我就冒出来了233333
本来是想直奔正题的。然而…这个问题涉及到一系列的基础知识，为了让欠缺这方面知识的朋友能够顺利阅读，我会在前面补充一小部分必要的信息。
本文的写作思路是这样的：
1. 为什么需要十二律？
2. 中西方对十二律的探索
3. 为什么需要十二平均律？
4. 中西方对十二平均律的探索
5. 朱载堉对十二平均律的贡献与评价
其中前三条涉及到律学的基础知识，要详细阐述恐怕需要一整本专著…因此在此主要做简要论述，而本文探究的重点主要是第4-5条。
下面进入正文。
1. 为什么需要十二律？
简要说来的话，就是人对于不同的音程关系，所感觉出的和谐程度是不同的。而这一点很大程度上取决于泛音列的作用。下图出自Purves (2017)：
可以看出，一根弦在振动时，其振动波长可以是弦长，这个音被称为基音；也可以是弦长的1/2, 1/3, 1/4…1/n，这些音被称为泛音。而基音与第一泛音的弦长比例为2:1，音程关系为八度；而基音与第二泛音的比例是3:1，音程关系为十二度（八度加纯五度）。通过简单的计算可得，纯五度音程的弦长比例为3:2；同理，第二、第三泛音之间的弦长比例为4:3，也就是我们现在所称的纯四度。
同时，人对于音程关系的和谐程度也有着不同的感知。根据Plomp & Levelt (1965) 的计算，这些音程关系的和谐程度大概可以量化如下（如图，横轴为音程关系，纵轴为和谐程度，因变量越高表示该音程关系越和谐）：
从上也可看出，计算出来的和谐程度与泛音列的性质是十分不谋而合的，前面几个泛音的音程关系和谐程度远远高于其他音程。因此，毕达哥拉斯大致得出了这样一个结论：长度比例越简单的两根弦，所奏出的音程关系越和谐 (Sethares, 2005, pp.33)。
顺带一提，毕达哥拉斯学派也据此衍生出了这样一个重要观点：数是万物的基础。这个观点将音乐的和谐、甚至宇宙天体的运动周期，都解释为数的比例，因此便将音乐、数学与天文学这样联结了起来。这个观念影响了柏拉图的教育理念、古希腊音乐学、甚至中世纪的“音乐宇宙”观念等。由于这部分与本问题无关，因此不进行更多展开，有兴趣的朋友可以参考这个答案：波埃修斯 (Boëthius) 将音乐分为“宇宙的音乐”、“人的音乐”、“乐器的音乐”，应该如何理解？
我们讲回正文。由于乐器制造与人的听觉的限制，我们不可能在音乐里面用无限多的音程，所以需要有所选择，因此我们有了律制。又因为简单音程较为和谐，我们在制定律制的时候，会尽可能地将和谐的音程包含在律制之中。那么，最和谐的几个音程：1/2, 2/3, 3/4之中，其最小公倍数是多少呢？
没错，是12。
这就是为什么东西方都不约而同地选了十二律，也就是一个八度分为12份，来作为律制的基础。这一部分我们会在下一章节继续探讨。
2. 中西方对十二律的探索
这一部分我也尽可能长话短说了。
通过一番实验之后，毕达哥拉斯通过“每去掉弦长1/3，音值升高五度”的方式，制定了十二律所对应的音值 (Sethares, 2005, pp.54)，这一套律制被称为“五度相生律”，具体比例可见下图：
而无独有偶，古代的中国也有类似的试验。最早记载十二律的古籍是《管子·地员篇》，文段如下 (Xie et al., 2000, pp.980)：
而由于《管子》被质疑为后人伪托，故成书时间可能比管仲所生活的春秋年间要晚 (Ying, 2005)，而无争议的最早记载出自《吕氏春秋·音律》，文段如下 (Wang, 1992, pp.118)：
这种生律方式称为“三分损益法”。大致方法为决定一个标准音为“黄钟”，通过减少对应弦长的三分之一（即“损”）和增加对应弦长的三分之一（即“益”）来定出纯五度与纯四度的关系。这种方法与毕达哥拉斯的五度相生律在生律方式上有少许不同 (Luo, 1986)，但其最终生成的律制大同小异，我们在此暂且将其看作同一种律制。
下面给出一个三分损益律的生成图表作为参考 (Miao, 1983, pp.109)：
3. 为什么需要十二平均律
但是，无论是五度相生、还是三分损益，都无可避免地出现两个问题。
第一个是，五度相生不能生成八度。
这里可以做个简单的计算。理论上五度相生12次以后，应该可以回到同一个音上，而这个音比基音高七个八度。然而计算可得，(2/3)^12≈0.0077073…，而(1/2)^7=0.0078125，两者有着一定的误差。也就是说，五度相生12次以后，所得到的音与基音并不呈八度关系。这在中国也成为“黄钟不能还原”这一千古难题 (Li & Fan, 2002)。
另一个问题是，作为十二律，其等位音理应是同一个音，也就是说G#=Ab, E#=F等，然而五度相生所得出的音列中，等位音并非同一个音，而是出现了细微的差别，如下图所示 (Sethares, 2005, pp.55)：
这两个问题导致了五度相生律不方便直接用于乐器制造上，而需要加以一定的改进。而比较主流的改进方式分为两种，一种是采用纯五度与大三度所生成的纯律，另一种是将一个八度分为12等份的十二平均律。纯律与本文关系不大，因此略过；下一章节将重点讲述中西方的学者如何探索十二平均律。
4. 中西方对十二平均律的探索
4.1. 希腊-拉丁文化圈对十二平均律的探索
最早提出十二平均律构想的西方人，相传是古希腊的亚里士多塞诺斯 (Ἀριστόξενος ὁ Ταραντίνος)。比如文艺复兴时代的文森佐·伽利莱 (Vincenzo Galilei，著名科学家伽利略的父亲) 在其著作《古代与现代音乐的对话集》 (Dialogo della musica antica et della moderna) 中提出 (1581)，“亚里士多塞诺斯将五个全音一分为二，与两个半音一同将多利安音阶分为十二等份” (Herman, 1973, pp.309)。再如后世的Westphal et al. (1885)，Murray (1951, pp.1-2) 等皆持此说，此处不再赘述。
后来也有学者否认这一推论，认为这一说完全是过度解读 (Litchfield, 1988)。但无论哪种说法，可以确定的是亚里士多塞诺斯最多是提出了这样一种想法，但并未有任何记载说明其进行过任何相关演绎与计算。
然而，上文提到的文森佐·伽利莱反倒是现存记载中，西方第一位估算十二平均律的学者。他在著作《弗洛尼莫对话集》(Fronimo Dialogo di Vincentio Galilei) 中提出 (1568)，在琉特琴定弦时，可以将每个半音的弦长比定为18/17。但这个数字只能认为是一种近似十二平均律的尝试，因为 (18/17)^12≈1.98556…，重复十二次后并不能得到精确的八度。然而这种近似依然十分实用，因为简便易算，只需要少许微调即可得到较为准确的十二平均律制 (Murray, 1951, pp.57)。
1596年，荷兰数学家斯台文 (Simon Stevin) 首次提出用等比数列思想求十二平均律，但其只精确至四位有效数字、且手稿中有计算错误 (Li, 2006)。更可惜的是，他个人似乎并未重视这一研究成果，其相关著作《歌唱艺术的理论》(Vande Spiegheling der Singconst) 直至将近300年后才被发掘并发表出来 (Stevin, 1884)。
由于斯台文的著作长期被埋没，一般认为梅森 (Marin Mersenne) 是欧洲首位算出精确十二平均律的学者。他在《宇宙的和谐》(Harmonie Universelle) 中给出了数个关于十二平均律的计算 (1636)。然而，同时代的意大利传教士利玛窦 (Matteo Ricci) 已在中国传教并在其笔记中记录过朱载堉的新法密率。尽管没有证据说明利玛窦将这些笔记带回欧洲，但也有学者推测斯台文可能接触过利玛窦搜集到的相关资料 (Grenfell, 2005, pp.35-36)。
第一位用对数计算十二平均律的是德国数学家法奥哈伯 (Johann Faulhaber)，他在著作《工程学校》(Ingenieurs-Schul) 中给出了精确数值 (1630, pp.167)，但却没有给出计算方法 (Christensen, 2006, pp.211)。此后尚有罗斯 (Lemme Rossi)，罗布科维茨 (Juan Caramuel de Lobkowitz)，以及著名天文学家惠更斯 (Christiaan Huygens) 等均用对数法算出了较为精确的十二平均律 (Christensen, 2006, pp.211-212)。此时数学工具已经较为成熟，在此不再阐述。
在此，西方的学者也已计算出精确的十二平均律制，我们把目光移回中国。
4.2. 古代中国对十二平均律的探索
如上所述，历代一直有学者试图解决“黄钟不能还原”的千古难题，而最早记载的是东晋-南朝宋时期的数学家何承天。他在《立法制议》中首次提出十二平均律所对应的数列，可惜原书已经失传，但《隋书·律历志》中仍有以下记载 (Wei, 1997)：
当时主流律制是通过多次损益而达到六十律，而何承天拒绝这种做法并发明了以上这套“新律”。其主要思路为，将十二次损益之后生成的清黄钟与原黄钟之间的误差数值分成十二份，在每一律中增补一份，增补后的音律在十二次相生后便可以正好回到黄钟。何承天新律是按照弦长差值所平均的结果，并非按照频率比所等比计算的真正的十二平均律，但其明显已经有了十二平均律思维、且其实际效果也已十分接近十二平均律 (Tong, 2004, pp.62)，可以说里真正的十二平均律已是一步之遥了。
从南北朝到明朝，也有许多类似的、对五度相生律进行改良的方式，此处不表。
而最后解决了十二平均律问题的是明朝音乐家朱载堉，其在1581年著《律历融通》、1584年著《律吕新说》、至1594年的《律吕精义》，强调了改革历法与律法的必要性，且同时附上了其对十二平均律的观点与数学演算的具体步骤 (Cho, 2010)。
关于具体计算步骤，其集大成的著作《律吕精义》有以下阐述 (Dai, 2008, pp.382)：
用现代数学语言表述的话，朱载堉的计算思路是这样的 (Li, 2006)：
因此，朱载堉也成为了有据可查的、世界上最早求出十二平均律算法的学者，而其计算的精确性甚至不亚于半个世纪后算出详细解的欧洲数学家们。
5. 朱载堉对十二平均律的贡献与评价
本部分涉及一些私货，请谨慎观看。但需要注意的是，这些“私货”都是整理客观学术资料后所得出的，并不代表本人预设了任何立场，如果有任何叙述失当的地方，还请雅正。
个人认为，在大多音乐爱好者的了解之下，朱载堉恐怕略有过誉，原因如下：
所以，相比之下个人更认为何承天的学术地位相对更高…因为何承天的新律在实际操作上足以当作十二平均律来应用、而且与西方（伽利莱）相比，也确确实实早了一千多年…在超前性与实用价值方面，都应比朱载堉更胜一筹嗯~
最后吐个小槽：
我经常看到有人将朱载堉和巴赫的十二平均律相提并论，甚至有神论说：“没有朱载堉发明十二平均律，哪有巴赫的十二平均律钢琴曲…”，实在是令人啼笑皆非。事实上这是典型的望文生义，十二平均律的英文是twelve-tone equal temperament，巴赫的十二平均律钢琴曲德文原文是Das wohltemperierte Klavier，直译成英文是The Well-Tempered Clavier (好的律制键盘)，两者风马牛不相及，何谈因果关系。即便朱载堉没有发明十二平均律，你用其他律制的钢琴，也照样可以演奏的呀。
6. 参考文献：
Cho, G. J. (2010). 从文化史角度看十二平均律的发现. 星海音乐学院学报, (2010 年 02), 1-4.
Christensen, T. (Ed.). (2006). The Cambridge history of Western music theory. Cambridge University Press.
Dai, N. (2008). 天潢真人朱载堉. 大象出版社.
Faulhaber, J. (1630). Ingenieurs Schul, Frankfurt, J. N. Stoltzenbergern.
Galilei, V. (1568). Fronimo Dialogo di Vincentio Galilei Fiorentino, nel quale si contengono le vere, et necessarie regole del Intavolare la Musica nel Liuto.
Galilei, V. (1581). Dialogo della musica antica et della moderna.
Grenfell, M. T. (2005). The Development of the Equal Temperament Scale: Evolution Or Radical Change? (Doctoral dissertation, Western Connecticut State University).
Herman, R. H. (1974). " Diologo della musica antica et della moderna" of Vincenzo Galilei: Translation and Commentary.
Li, M. (2006). 相遇不曾谋面——比较朱载堉与斯台文破解十二平均律的方法. 中国音乐, (2), 16-19.
Li, Y., & Fan, F. (2002). 简述中国古代律学的发展历程. 江西社会科学, (11), 125-126.
Litchfield, M. (1988). Aristoxenus and empiricism: A reevaluation based on his theories. Journal of Music Theory, 32(1), 51-73.
Luo, Q. (1986). 三分损益不等于五度相生. 音乐艺术: 上海音乐学院学报, (2), 83-87.
Mersenne, M. (1636). Harmonie universelle, contenant la théorie et la pratique de la musique.
Miao, T. (1983). 律学. 人民音乐出版社.
Murray, J. B. (1951). Tuning and temperament: a historical survey. Mich., East Lausing.
Plomp, R., & Levelt, W. J. M. (1965). Tonal consonance and critical bandwidth. The journal of the Acoustical Society of America, 38(4), 548-560.
Purves, D. (2017). Music as Biology. Harvard University Press.
Sethares, W. A. (2005). Tuning, timbre, spectrum, scale. Springer Science & Business Media.
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Tong, Z. (2004). 中国传统乐学. 福建教育出版社.
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Wei, Z. (1997). 隋书（全六册）. 中华书局.
Westphal, R., Rossbach, A., & Gleditsch, H. (1885). Theorie der musischen Künste der Hellenen. BG Teubner.
Xie, H., Guang, Z., Zhu, Y. (2000). 管子（下）. 五南圖書出版股份有限公司.
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